丘成桐與幾何分析 (鄭紹遠)

  欣聞丘成桐獲頒二〇一〇年沃爾夫數學獎,興奮莫名,因為這是第二位華裔數學家獲此殊榮。我們的老師陳省身先生在一九八三年以他在整體微分幾何的巨大貢獻而獲沃爾夫獎;丘成桐則以他在幾何分析領域的巨大貢獻而獲獎。幾何分析是丘成桐創建的數學領域,丘成桐成功把偏微分方程的方法,尤其是非線性分析的方法,引進幾何問題中,既豐富了偏微分方程的課題,又有效破解了大量的幾何和理論物理的難題。一九七〇年代是幾何分析的奠基和茁壯期,一些重要的方法和觀點都是在這個時期發展出來的,我十分幸運親歷這個時期的重要活動,現在回想起來仍能感受到當時對學術的激情和澎湃的創意。

硝烟中獨得學術真傳

  丘成桐在一九六九年秋獲獎學金到加州大學柏克萊分校攻讀數學博士課程,一個學期後便解決了沃爾夫猜想(Wolf Conjecture,與沃爾夫獎無關),完成了博士課程的主要部分。因為丘成桐卓越的成就,柏克萊就一口氣給獎學金錄取了我和中文大學的另一位同學。到柏克萊後,我和丘成桐合租一間在歐幾里德街(很巧合!)上的單身公寓,丘成桐很喜歡談數學,常與朋友分享他的觀點和想法。每日浸淫其中,我自然獲益不淺。事實上,丘成桐這時期已開始鑽

研偏微分方程,當時柏克萊

  在這方面的大師是摩理教授(Charles Morrey),丘成桐在七〇年春季開始修讀摩理教授的討論班。七〇年春季是一個時局動盪的時候,五月在肯德州立大學(Kent State University)反戰活動中,四名學生中槍死亡,全美因此發生大規模反戰活動,柏克萊校園成為學生和警察的戰場,多次實施宵禁和戒嚴。摩理教授的討論班上只剩丘成桐一人,在硝烟瀰漫和直升機盤旋聲中,丘成桐獨得摩理教授的真傳。

  這個時期,丘成桐仍在鑽研非線性偏微分方程的理論,但他已提出一個重要問題,就是如何把經典的劉維爾定理(Liouville Theorem)推廣到完備非緊致里奇曲率(Ricci curvature)非負的黎曼流形上。這是一個很好的問題,漂亮而又不能用既有方法解答,於是在一九七二年,丘成桐發展了在黎曼流形上做梯度估計(Gradient estimate)的方法解決這個問題。在黎曼流形上的梯度估計是幾何分析發展的重要里程碑。可以說,丘成桐這個工作,宣告了幾何分析的誕生。

把幾何研究推到高峰

  一九七三年暑假,丘成桐自美東到加州史丹福大學任助理教授,而往後數年可說是幾何分析的重要發展時期,丘成桐和幾何分析的幾位重要人物開始了長期的合作,共同把幾何分析研究推到高峰。

  在史丹福大學,丘成桐認識了年輕澳州籍數學家李安.西蒙(Leon Simon)。西蒙教授是一位謙謙君子,他並非名校畢業,但他出色的博士論文令史丹福大學的吉爾拔 (David Gilang) 教授大為賞識,把他聘到史丹福大學數學系任助理教授。另一位關鍵人物是孫理教授(Rick Schoen,孫理是丘成桐給他取的中文名字)。孫理當時仍是研究生,他來自中西部農莊,有着中西部人沉實苦幹的精神,身高六尺,身手靈活,各種球類都精通。他是少數懂得灌籃的數學家,壘球亦十分出色。一九七九年丘成桐、孫理、李偉光(Peter Li)和我四人到夏威夷旅行,看見掛在椰樹上的椰子艷羨不已,孫理拿起石頭向着四十尺高的椰子樹一擲,就把樹頂的椰子打下來,可惜後來椰子不能帶進美國大陸而被海關充公了。

  丘成桐、西蒙和孫理當時都是二十多歲,風華正茂,所謂初生之犢,不畏猛虎,半年後他們三人就在極小子流形方面有所突破,做了出色的工作。孫理告訴我,丘成桐這時去旁聽很多研究生的課程,史丹福大學有很優秀的分析傳統,丘成桐兼容並包,無所不學,功力大增,很快便到了融會貫通、自成一派的境界。

  丘成桐自一九七一年起便知道卡拉比猜想(Calabi’s Conjecture)的重要性,下定決心破解。要解決卡拉比猜想先要解決在黎曼流形上一個二階全非線性橢圓形方程,這個問題就算在歐氏空間已經是一個十分困難的問題。一九七五年,丘成桐和我在這方面有一些很好的進展,但距離解決卡拉比猜想仍遠,因為我們欠缺一個關鍵性的零階先驗估計(0-order a priori estimate)。一九七六年夏天,丘成桐結婚,小登科後數月便解決了卡拉比猜想,名震天下,一九七七年陳省身先生立刻邀丘成桐到柏克萊訪問一年。這時柏克萊人才濟濟,孫理一九七五年史丹福畢業後便於柏克萊任助理教授,柏克萊亦向麻省理工學院挖角,聘了幾何及拓樸學大師辛格(I.M.Singer),他的辦公室就在丘的旁邊。幸運的,我剛巧得到史隆基金會(Alfred P.Sloan Foundation)的史隆研究獎,可以專心做研究一年,不用教學。知道丘成桐會到柏克萊,我亦攜一家老少回來一年,繼續做幾何分析的研究工作。這時李偉光是陳省身教授門下的研究生,他來自香港,很講究生活品味,他每天開着名貴Alfa Romeo跑車上學,在柏克萊數學系中傳為佳話。李偉光這時開始與丘成桐在幾何分析方面做研究,二人在八〇年代初做了大量出色的工作,其中關於黎曼流形上的熱核估計更在二〇〇三年佩爾曼的龐卡萊猜想工作中起關鍵的作用。

解決了霍金提出的問題

  在柏克萊期間,辛格教授對理論物理,尤其是規範場論感到興趣,很多著名的數學家和物理學家都到柏克萊作訪問,丘成桐和孫理亦開始研究廣義相對論的正質量猜想(positive mass conjecture),他們首先發展了三維流形內的極小曲面理論,再以此為基礎在一九七八年解決了正質量猜想,令霍金教授讚歎不已。之後不久,丘成桐訪問了霍金,霍金向丘成桐提出正能量猜想(positive energy conjecture),丘成桐和孫理數月後亦把它解決了。

英雄薈萃普林斯頓

爾後,丘成桐這一系列工作自然引起數學界的重視,普林斯頓高等研究所(Institute for Advanced Study)立刻邀請丘成桐在一九七九年主辦微分幾何年,廣邀這方面的數學家薈萃一堂,推動整個領域更上一層樓。這可以說是幾何分析的第一個群英會。丘成桐邀請了孫理、李安.西蒙、李偉光到普林斯頓訪問一年,而我亦得到普林斯頓大學數學系的支持,讓我這一年不用教書,全心全意參加高等研究所的學術活動。這一年大家都住在高等研究院的宿舍,更多機會交流討論。此外,丘成桐又主辦了很多學術活動,天下英雄好漢都來作學術訪問,互相切磋,豐富了幾何分析的內容,擴大了幾何分析的影響力,使之成為數學領域的一個重要學科。

後來,丘成桐更把整年的學術活動編輯成書,並加上他所訂立的一百二十題幾何分析的重要猜想,為幾何分析日後的發展定了明確的方向。自八〇年至今三十年間,幾何分析蓬勃發展,很多數學難題都以幾何分析的方法一一破解。如果要描述這三十年的發展,就要更多更多的篇幅,並非這篇短文所能概括的了。

(作者是香港科技大學署理學術副校長。)

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