丘成桐與幾何分析 (鄭紹遠)

  欣聞丘成桐獲頒二〇一〇年沃爾夫數學獎,興奮莫名,因為這是第二位華裔數學家獲此殊榮。我們的老師陳省身先生在一九八三年以他在整體微分幾何的巨大貢獻而獲沃爾夫獎;丘成桐則以他在幾何分析領域的巨大貢獻而獲獎。幾何分析是丘成桐創建的數學領域,丘成桐成功把偏微分方程的方法,尤其是非線性分析的方法,引進幾何問題中,既豐富了偏微分方程的課題,又有效破解了大量的幾何和理論物理的難題。一九七〇年代是幾何分析的奠基和茁壯期,一些重要的方法和觀點都是在這個時期發展出來的,我十分幸運親歷這個時期的重要活動,現在回想起來仍能感受到當時對學術的激情和澎湃的創意。硝烟中獨得學術真傳   丘成桐在一九六九年秋獲獎學金到加州大學柏克萊分校攻讀數學博士課程,一個學期後便解決了沃爾夫猜想(Wolf Conjecture,與沃爾夫獎無關),完成了博士課程的主要部分。因為丘成桐卓越的成就,柏克萊就一口氣給獎學金錄取了我和中文大學的另一位同學。到柏克萊後,我和丘成桐合租一間在歐幾里德街(很巧合!)上的單身公寓,丘成桐很喜歡談數學,常與朋友分享他的觀點和想法。每日浸淫其中,我自然獲益不淺。事實上,丘成桐這時期已開始鑽研偏微分方程,當時柏克萊  在這方面的大師是摩理教授(Charles Morrey),丘成桐在七〇年春季開始修讀摩理教授的討論班。七〇年春季是一個時局動盪的時候,五月在肯德州立大學(Kent State University)反戰活動中,四名學生中槍死亡,全美因此發生大規模反戰活動,柏克萊校園成為學生和警察的戰場,多次實施宵禁和戒嚴。摩理教授的討論班上只剩丘成桐一人,在硝烟瀰漫和直升機盤旋聲中,丘成桐獨得摩理教授的真傳。  這個時期,丘成桐仍在鑽研非線性偏微分方程的理論,但他已提出一個重要問題,就是如何把經典的劉維爾定理(Liouville Theorem)推廣到完備非緊致里奇曲率(Ricci curvature)非負的黎曼流形上。這是一個很好的問題,漂亮而又不能用既有方法解答,於是在一九七二年,丘成桐發展了在黎曼流形上做梯度估計(Gradient estimate)的方法解決這個問題。在黎曼流形上的梯度估計是幾何分析發展的重要里程碑。可以說,丘成桐這個工作,宣告了幾何分析的誕生。把幾何研究推到高峰   一九七三年暑假,丘成桐自美東到加州史丹福大學任助理教授,而往後數年可說是幾何分析的重要發展時期,丘成桐和幾何分析的幾位重要人物開始了長期的合作,共同把幾何分析研究推到高峰。  在史丹福大學,丘成桐認識了年輕澳州籍數學家李安.西蒙(Leon Simon)。西蒙教授是一位謙謙君子,他並非名校畢業,但他出色的博士論文令史丹福大學的吉爾拔 (David Gilang) 教授大為賞識,把他聘到史丹福大學數學系任助理教授。另一位關鍵人物是孫理教授(Rick Schoen,孫理是丘成桐給他取的中文名字)。孫理當時仍是研究生,他來自中西部農莊,有着中西部人沉實苦幹的精神,身高六尺,身手靈活,各種球類都精通。他是少數懂得灌籃的數學家,壘球亦十分出色。一九七九年丘成桐、孫理、李偉光(Peter Li)和我四人到夏威夷旅行,看見掛在椰樹上的椰子艷羨不已,孫理拿起石頭向着四十尺高的椰子樹一擲,就把樹頂的椰子打下來,可惜後來椰子不能帶進美國大陸而被海關充公了。  丘成桐、西蒙和孫理當時都是二十多歲,風華正茂,所謂初生之犢,不畏猛虎,半年後他們三人就在極小子流形方面有所突破,做了出色的工作。孫理告訴我,丘成桐這時去旁聽很多研究生的課程,史丹福大學有很優秀的分析傳統,丘成桐兼容並包,無所不學,功力大增,很快便到了融會貫通、自成一派的境界。  丘成桐自一九七一年起便知道卡拉比猜想(Calabi’s Conjecture)的重要性,下定決心破解。要解決卡拉比猜想先要解決在黎曼流形上一個二階全非線性橢圓形方程,這個問題就算在歐氏空間已經是一個十分困難的問題。一九七五年,丘成桐和我在這方面有一些很好的進展,但距離解決卡拉比猜想仍遠,因為我們欠缺一個關鍵性的零階先驗估計(0-order a priori estimate)。一九七六年夏天,丘成桐結婚,小登科後數月便解決了卡拉比猜想,名震天下,一九七七年陳省身先生立刻邀丘成桐到柏克萊訪問一年。這時柏克萊人才濟濟,孫理一九七五年史丹福畢業後便於柏克萊任助理教授,柏克萊亦向麻省理工學院挖角,聘了幾何及拓樸學大師辛格(I.M.Singer),他的辦公室就在丘的旁邊。幸運的,我剛巧得到史隆基金會(Alfred P.Sloan Foundation)的史隆研究獎,可以專心做研究一年,不用教學。知道丘成桐會到柏克萊,我亦攜一家老少回來一年,繼續做幾何分析的研究工作。這時李偉光是陳省身教授門下的研究生,他來自香港,很講究生活品味,他每天開着名貴Alfa Romeo跑車上學,在柏克萊數學系中傳為佳話。李偉光這時開始與丘成桐在幾何分析方面做研究,二人在八〇年代初做了大量出色的工作,其中關於黎曼流形上的熱核估計更在二〇〇三年佩爾曼的龐卡萊猜想工作中起關鍵的作用。解決了霍金提出的問題   在柏克萊期間,辛格教授對理論物理,尤其是規範場論感到興趣,很多著名的數學家和物理學家都到柏克萊作訪問,丘成桐和孫理亦開始研究廣義相對論的正質量猜想(positive mass conjecture),他們首先發展了三維流形內的極小曲面理論,再以此為基礎在一九七八年解決了正質量猜想,令霍金教授讚歎不已。之後不久,丘成桐訪問了霍金,霍金向丘成桐提出正能量猜想(positive energy conjecture),丘成桐和孫理數月後亦把它解決了。英雄薈萃普林斯頓 爾後,丘成桐這一系列工作自然引起數學界的重視,普林斯頓高等研究所(Institute for Advanced Study)立刻邀請丘成桐在一九七九年主辦微分幾何年,廣邀這方面的數學家薈萃一堂,推動整個領域更上一層樓。這可以說是幾何分析的第一個群英會。丘成桐邀請了孫理、李安.西蒙、李偉光到普林斯頓訪問一年,而我亦得到普林斯頓大學數學系的支持,讓我這一年不用教書,全心全意參加高等研究所的學術活動。這一年大家都住在高等研究院的宿舍,更多機會交流討論。此外,丘成桐又主辦了很多學術活動,天下英雄好漢都來作學術訪問,互相切磋,豐富了幾何分析的內容,擴大了幾何分析的影響力,使之成為數學領域的一個重要學科。後來,丘成桐更把整年的學術活動編輯成書,並加上他所訂立的一百二十題幾何分析的重要猜想,為幾何分析日後的發展定了明確的方向。自八〇年至今三十年間,幾何分析蓬勃發展,很多數學難題都以幾何分析的方法一一破解。如果要描述這三十年的發展,就要更多更多的篇幅,並非這篇短文所能概括的了。(作者是香港科技大學署理學術副校長。)

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霍金、科學精神與人類社會 (鄭紹遠)

  香港科技大學邀請著名科學家和宇宙學家霍金於六月中旬來港訪問,不僅在香港掀起了一股「霍金旋風」,而且令霍金的著作成為書店近期的熱賣書籍。不過,在這股「霍金旋風」的背後,我們更應該重視人類對宇宙和社會探究的科學精神、認識知識對推動社會發展的重要性,以及學習霍金對追尋知識和真理那一股堅韌不拔的可貴精神。人類生活體現的科學精神  科學其實源於人類的生活實踐。人類對自然和人文現象尋根究柢,找出事物的起源,探索當中的發展規律,通過實驗和論證,科學地寫出一些原理和程式,使人人都可以重複地做到,這就是科學。最近一項香港學生科學比賽,其中有一個「薑汁撞奶」的報告,即可一窺科學在生活實踐中的意義。薑汁撞奶的啟迪  薑汁撞奶是一種中式甜品,由牛奶製成。從化學的理論看,將酸加入牛奶,使奶凝結,道理很多人都明白。但薑汁撞奶,要成功地炮製出來,並不是人人可以做到﹔而且也有很多人以為,薑汁撞奶只是一個化學問題。事實上,這是一個生化學的問題。薑汁撞奶,要用新鮮的薑。因為新鮮的薑,才有新鮮的酶,亦即酵素。在薑汁撞奶的過程中,要把牛奶煮到很高溫,然後降溫,把牛奶多次反覆倒入容器裏,所謂「拉奶」,使溫度降到六十六、七度左右。新鮮薑的酵素,在這個溫度下變得活躍,所以便可以成功撞出這美味可口的甜品。這個課題的學生經過研究、探索、實驗,終於得出薑汁撞奶的「秘方」——程式。接着便找從來沒有做過薑汁撞奶的人,按照他經實驗而得出來的「秘方」,照辦煮碗,果然成功了。這種源於生活中的探究,就是一種科學精神在生活實踐的展現。探索宇宙 鍥而不捨  人類抬首蒼穹,觀察到斗轉星移,四季交替﹔風雷閃電,山河變色,因而對神秘莫測的大自然充滿好奇,對揭開時空起源的秘密,有一股莫名的吸引力。古希臘時代的柏拉圖,在《蒂邁歐篇》(Timaias)一文中,便流露了這種探索的激情。他指出﹕「整個世界究竟是永遠存在而沒有開始的呢﹖還是創造出來而有一個開始呢﹖我深信是創造出來的。」  著名科學史學家李約瑟所推崇的老子著作《道德經》成書於春秋末期,距今已有兩千五百多年。對宇宙的形成和發展,老子認為「道」是萬物之源,而且更提出「萬物負陰而抱陽,衝氣以為和」(《道德經》第四十二章)的物質結構模型(與現代的物質原子結構——陽性的質子處於中心,陰性的電子在外圍運動,像把陽抱在懷裏,即所謂「負陰而抱陽」的結構吻合),用「道」去探索和解釋宇宙的起源。可以看到,人類對宇宙和人文的探索,就是人類文明和知識積累的基礎和動力。知識是人類文明發展基石  很清楚,在西方的宇宙探索史上,從哥白尼、伽利略、開普勒(Johannes Kepler)、牛頓、愛因斯坦到今天的霍金,其實都經歷了一個從認識、修正、改錯到知識提升的過程,受過科學論證精神的洗禮。從「地心說」到「日心說」﹔從牛頓的經典力學到愛因斯坦的相對論﹔再從廣義相對論無法克服「奇點」理論的矛盾,到霍金提出結合廣義相對論的思想和量子場結合,以「宇宙波函數」(Universe Wave Function),來推斷宇宙起源於大爆炸。人類知識的積累,顯然是打開宇宙起源、人類生存由來的鑰匙。  一九六二年,已故科學哲學家庫恩(Thomas Kuhn)教授提出科學的發展,是一場「範式」(Paradigm)的革命(參看The Structure of Scientific Revolutions)。牛頓的引力理論說明了月球、行星、單擺(Simple Pendulum)、拋物體、潮汐及其他很多低速物體運動,較諸開普勒的行星運動定律適用範圍更廣,解釋能力更強,於是牛頓的引力科學範式,便取代了開普勒的行星科學範式。在進一步探索和研究的過程中,愛因斯坦的相對論範式,對物體高速運動(如光速)有更強大及有效的解釋力,因而成為新的科學範式。這種範式的更迭,使人類的知識不斷增長,也使人類的文明不斷演化。成立高等研究院任重道遠  可以說,一個重視知識的社會,才是一個活力無窮、不斷進步的社會。今天香港銳意轉向知識型經濟發展,故提升人力資源的素質是十分重要的工作。大學建立研究院,培育人才,顯然是一項配合社會發展的百年大計。科大在《二○○五—二○二○年策略發展計劃》中,便提出設立科大高等研究院,匯聚全球頂尖的學者和優秀的後進,發展成為全香港以至全中國的知識重鎮,實現「知識提升人類文明,推動社會進步的教育理想」。這次霍金應科大之邀來港,並於六月十五日以「宇宙起源」為題主持一場公開講座,也是作為科大成立十五周年傑出學者講座的一項重點活動,引起不少香港人對宇宙起源問題的興趣,但我們希望,大家對霍金訪港所引發的熱潮並不是三分鐘熱度,而是真正認識到科學精神在社會發展中的促進作用——講求科學精神的人力資源,比其他發展資源更重要。宇宙是自己創造自己的  一六四二年一月八日,伽利略逝世﹔同一年,牛頓誕生。三百年後,於一九四二年,就在伽利略逝世那天,霍金出生。這些日子上的巧合,在科學和人類發展史上,彷彿留下了一個讓人有無窮想像的話題——上天為什麼如斯安排﹖霍金是最早用愛因斯坦廣義相對論推演宇宙演變的科學家之一。他在著作《時間簡史》中,提出「宇宙起源於大爆炸,並將終結於黑洞」的斷論,已被科學界所接受。可以說,時間、空間的歷史與未來,就是霍金的研究對象。宇宙大爆炸的論證  從歷史上看,當代宇宙學的誕生,可以天文學家哈勃的觀察和研究作為起點。哈勃於一九二九年在天文觀察中發現,銀河外星系的光譜,出現了紅移(Redshift)現象,由此推斷,愈遠的星系以愈快的速度離我們而去,這表明整個宇宙是處於膨脹狀態。若將時間倒溯到過去,估計在一百億至二百億年前,曾經發生過一次開天闢地的驚天事故,即宇宙從一個極其密緻、極熱的狀態中大爆炸而產生。  一九四八年,美籍俄裔宇宙學家伽莫夫(George Gamow)發表了一篇有關大爆炸的文章,並作出了驚人的預言——早期大爆炸的輻射,仍殘留在我們周圍。不過,由於宇宙膨脹引起的紅移,其絕對溫度只餘下幾度左右。在這種溫度下,輻射是處於微波的波段。到一九六五年,美國AT&T貝爾實驗室的彭齊斯(Amo Penzias)和威爾遜(Robert Wilson)無意中發現到宇宙背景3K微波輻射,這給於宇宙膨脹的理論帶來強大的支持和論證基礎。廣義相對論陷入困境  霍金在愛因斯坦相對論的基礎上,提出新的修正和補充。霍金和研究拍檔彭羅斯(Roger Penrose)推斷,在一般的條件下,空間——時間必然存在着「奇點」(Singularity)。他們二人於一九七○年證明了「宇宙奇性定理」(參看The Singularities of Gravitational Collapse and Cosmology),並由此獲得一九八八年的沃爾夫物理學獎(Wolf Prize)。  按照廣義相對論,宇宙從大爆炸奇點開始,即是大爆炸的起點。奇點是一個密度無限大、質量無限大、時空曲率無限高、熱量無限高、體積無限小的「點」,在奇點處,一切科學定律包括相對論本身都失效了,甚至連時空也失效。奇點可以看成空間和時間的邊緣或邊界,只有給定了奇點處的邊界條件,才能由愛因斯坦方程闡釋到宇宙的演化。但邊界條件只能由宇宙外的「造物主」所給定,因此,宇宙的命運和演化,無疑是操縱在造物主手上。這樣一來,我們又回到牛頓時代,一直困擾人類智慧的「第一推動力」問題——宇宙的起源和演化,真是由造物主看不見的手推動嗎﹖用宇宙波函數解決疑難  如果奇點是非物理性的,一切科學理論都失效,這樣一來,就構成宇宙學最大的疑難,廣義相對論也陷入了理論困局。霍金回憶,「廣義相對論在奇點的崩潰,將破滅我們預言宇宙未來的幻想」,故此必須另闢蹊徑去解決這個問題(參看Sixty Years in a Nutshell)。霍金相信,在宇宙極早期,整個宇宙非常微小,故此必須考慮量子效應,把廣義相對論的思想和量子場結合起來﹔對於宇宙奇性疑難,也必須用量子引力論才能解決。一九八三年,霍金和哈特爾(Jim Hartle)發表論文《宇宙的波函數》(Wave Function of the Universe),正式提出「無邊界宇宙」的設想,即「宇宙的邊界條件就是沒有條件」。如果時空沒有邊界,就無須造物主的第一推動。霍金論證,宇宙的量子態是處於一種基態,空間和時間可看成一有限無邊的四維面。打破「第一推動力」的苦惱  既然宇宙是一個有限無邊的閉合模型,由此我們便得出一個「自含」、而且是「自足」的宇宙,亦即在原則上,人類憑科學定律,便可以將宇宙中的一切論證出來。霍金和他的學生吳忠超證明,在無邊界假定的條件下,宇宙必須從零動量態向三維幾何態演化。於是,一個經典奇性疑難,就被量子效應所解決了,而且宇宙的起點正是由此奇點開始,而霍金的大爆炸宇宙論也找到了扎實的理論基礎,為當代宇宙學的研究,立下一個新的研究範式。更重要一點,是宇宙起源打破了對人類「第一推動力」的三百年迷惘。人類理智和堅韌不拔精神  既然宇宙是「自含」的、「自足」的,也就是說,宇宙是自己創造自己、自己發展自己的。霍金相信宇宙是可以認識的、可以理解的,但他同時冷靜地認識到,人類不可能窮盡對宇宙的完全認識。  可以說,人類對宇宙一切的認識只能是相對真理。正如科學哲學家波柏(Karl Popper)指出,人類在無窮的相對真理的長路中不斷探索、不斷進步、通過「除錯法」(Method of error elimination),不斷認識真理、迫近絕對真理(參看Conjectures and Refutations : The Growth of Scientific Knowledge)。人類在認識宇宙的過程中,得到無窮的啟迪,而人類的文明也得以不斷進步。  這種對科學定律和真理鍥而不捨的探究精神,就是人類文明發展的動力,人類的生命在追尋真理的過程中,顯得無比珍貴。所以,在科大召開的霍金記者招待會上,有記者提問,因病導致身體不能活動的鄧紹斌(斌仔)要求安樂死,這種做法究竟對不對﹖霍金首先表示斌仔有這種選擇自由,他肯定人類自由選擇的價值,但他卻隨即指出生命的可貴,尋死是嚴重的錯誤,只要有一息尚存,生命便有希望。人類命運掌握在自己手上  事實上,霍金一生的確充滿傳奇。他在劍橋大學研究宇宙學時,患上肌肉萎縮症。這種疾病不僅難以治癒,並且會影響到大腦中控制運動功能的部分。這個頑疾最後使霍金全身動彈不得,只得兩根指頭可以活動。但他沒有因此而意志消沉,反而以不屈的堅強意志,克服困難,透過人類的理性和智慧,對時間、空間、黑洞、宇宙起源與未來建立新理論和範式,震撼整個科學界。  霍金六月十五日在科大的公開講座後接受提問。有人問他,身體的殘缺並沒有阻擋到他的前進,他憑什麼力量克服困難﹖霍金很清楚表示﹕「身體殘缺,精神不能殘缺。」這種堅韌不拔的精神,充分肯定了人類在宇宙中存在的價值,也充分顯露了人類生命的價值。也因為有這種堅韌不拔、鍥而不捨的精神,人類才有力量和智慧,在有限無邊的茫茫宇宙中,孤獨地尋找宇宙的起源和自身存在的原因﹗沒有「第一推動力」,人類的前途和人類社會的發展,將像宇宙一樣,是自己演化自己,自己發展自己﹗

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